Biến đổi Laplace của phương trình vi phân
Phép biến đổi Laplace là 1 kỹ thuật toán học được dùng phổ cập} để giải 1 phương trình vi phân. Nhiều vấn đề toán học được giải quyết bằng phương pháp dùng những phép biến đổi. Ý tưởng là chuyển đổi vấn đề thành 1 vấn đề khác dễ giải quyết hơn. Mặt khác, phép biến đổi nghịch đảo siêu hữu ích để tính toán lời giải cho bài toán đã cho.
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy giải 1 phương trình vi phân hàng đầu sở hữu sự trợ giúp của phép biến đổi Laplace,
Xét y’- 2y = e 3x và y (0) = -5. Tìm giá trị của L (y).
Bước trước tiên của phương trình có thể được giải sở hữu sự trợ giúp của phương trình tuyến tính:
L (y ‘- 2y] = L (e 3x )
L (y ‘) – L (2y) = 1 / (s-3)
(vì L (e ax ) = 1 / (sa))
L (y ‘) – 2s (y) = 1 / (s-3)
sL (y) – y (0) – 2L (y) = 1 / (s-3)
(Dùng thuộc tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace)
L (y) (s-2) + 5 = 1 / (s-3) (Giá trị dùng của y (0) tức là -5 (đã cho))
L (y) (s-2) = 1 / (s-3) – 5
L (y) = (-5s + 16) / (s-2) (s-3)… .. (1)
trên đây (-5s + 16) / (s-2) (s-3) có thể được viết thành -6 / s-2 + 1 / (s-3) bằng phương pháp dùng phương pháp phân số từng phần
(1) ngụ ý L (y) = -6 / (s-2) + 1 / (s-3)
L (y) = -6e 2x + e 3x
Chức năng bước
Hàm bước thường được gọi là hàm Heaviside, và nó được định nghĩa như sau:
uc( t ) = {01tôi f t < ctôi f t ≥ c
Hàm bước có thể nhận những giá trị 0 hoặc 1. Nó giống như 1 công tắc bật và tắt. Những ký hiệu đại diện cho những hàm Heaviside là u c (t) hoặc u (tc) hoặc H (tc)
Biến đổi Laplace tune phương
Phép biến đổi Laplace cũng có thể được định nghĩa là phép biến đổi Laplace tune phương. Đây còn được gọi là phép biến đổi Laplace 2 mặt, có thể được thực hành bằng phương pháp mở rộng những giới hạn của tích phân thành toàn bộ trục thực. Do đấy, phép biến đổi Laplace đơn phương phổ cập} trở nên 1 trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace tune phương, trong đấy định nghĩa hàm được biến đổi được nhân sở hữu hàm bậc Heaviside.
Phép biến đổi Laplace tune phương được định nghĩa là:
F( s ) =∫+ ∞- ∞e- s tf( t ) dt
1 phương pháp khác để biểu diễn phép biến đổi Laplace tune phương là B {F}, thay thế vì F.
Biến đổi Laplace ngược
Trong phép biến đổi Laplace ngược, chúng ta được phân phối (những) phép biến đổi F và được bắc buộc tìm hàm số mà chúng ta có ban đầu. Biến đổi nghịch đảo của hàm F (s) được cho bởi:
f (t) = L -1 {F (s)}
Thí dụ, đối sở hữu 2 phép biến đổi Laplace, chẳng hạn F (s) và G (s), phép biến đổi Laplace ngược được xác định bởi:
L -1 {aF (s) + bG (s)} = a L -1 {F (s)} + bL -1 {G (s)}
Trong đấy a và b là hằng số.
Trong trường hợp này, chúng ta có thể thực hành phép biến đổi nghịch đảo cho những phép biến đổi riêng lẻ và thêm những giá trị ko đổi của chúng vào những vùng vị trí tương ứng và thực hành phép toán để nhận được kết quả.
Tích phân chuyển đổi
Giả dụ những hàm f (t) và g (t) là những hàm liên tục từng đoạn trên khoảng [0, ∞), thì tích phân chập của f (t) và g (t) được cho là:
(f * g) (t) = 0 ∫ t f (tT) g (T) dT
Như, tích phân chập tuân theo thuộc tính, (f * g) (t) = (g *) (t)
Chúng ta có thể viết, 0 ∫ t f (tT) g (T) dT = 0 ∫ t f (T) g (tT) dt
Vì vậy, dữ kiện trên sẽ giúp chúng ta nhận được phép biến đổi nghịch đảo của tích các phép biến hình.
(tức là) L (f * g) = F (s) G (s)
L -1 {F (s) G (s)} = (f * g) (t).
Biến đổi Laplace trong lý thuyết xác suất
Trong lý thuyết xác suất thuần túy và ứng dụng, phép biến đổi Laplace được định nghĩa là giá trị kỳ vọng. Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất, giả sử f, thì biến đổi Laplace của f được cho dưới dạng kỳ vọng của:
L {f} (S) = E [e -sX ], được gọi là phép biến đổi Laplace của chính biến ngẫu nhiên X.
Những ứng dụng của Biến đổi Laplace
- Nó được dùng để chuyển đổi những phương trình vi phân phức tạp sang dạng đơn giản hơn có đa thức.
- Nó được dùng để chuyển đổi những đạo hàm thành nhiều biến miền và tiếp tục chuyển đổi những đa thức trở lại phương trình vi phân bằng phương pháp dùng phép biến đổi Laplace ngược.
- Nó được dùng trong lĩnh vực viễn thông để gửi tín hiệu tới cả 2 phía của phương tiện truyền thông. Thí dụ, lúc những tín hiệu được gửi qua điện thoại thì trước tiên chúng được chuyển đổi thành 1 sóng thay thế đổi theo thời kì và tiếp tục được chồng lên phương tiện.
- Nó cũng được dùng cho nhiều nhiệm vụ kỹ thuật như Phân tách nguồn điện, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, mô hình hóa hệ thống, v.v.
Thí dụ về biến đổi Laplace
Những thí dụ dưới đây dựa trên 1 số hàm cơ bản quan yếu của phép biến đổi Laplace.
Phương trình Laplace
Phương trình Laplace, 1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2, siêu hữu ích trong vật lý cơ và toán học. Phương trình Laplace phát biểu rằng tổng những đạo hàm riêng cấp 2 của f, hàm chưa biết, bằng 0 đối sở hữu tọa độ Descartes. Phương trình Laplace 2 chiều cho hàm f có thể được viết dưới dạng:
Phương trình Laplace cho tọa độ cha chiều có thể được biểu diễn như sau:
