1. Định nghĩa chứng minh là gì?
Chứng minh 1 mệnh đề là chứng tỏ sự đúng đắn của mệnh đề ấy bằng bí quyết dựa vào những tri thức, sự kiện, chứng cứ đã biết.
Trong những hệ thống logic hình thức hóa phép chứng minh được hiểu là 1 chuỗi những mệnh đề (công thức) kế tiếp nhau, trong ấy từng mệnh đề (công thức) hoặc là 1 tiên đề của hệ, hoặc là 1 mệnh đề đã được chứng minh từ trước, hoặc có thể rút ra từ 1 số mệnh đề (công thức) đứng trước trong chuỗi theo 1 quy tắc của hệ, mệnh đề cuối cùng của chuỗi là mệnh đề được chứng minh.
Phép chứng minh trong toán học cũng tương tự động như vậy: ấy là 1 chuỗi những mệnh đề toán học, trong ấy từng mệnh đề hoặc là 1 tiên đề của 1 hệ thống toán học nhất định, hoặc đã được chứng minh từ trước (nghĩa là 1 định lý), hoặc nhận được từ những mệnh đề đứng trước nó trong chuỗi theo những quy tắc logic diễn dịch nhất định. Chứng minh hiểu như trong những hệ thống logic hình thức và trong toán học nêu trên đây ta gọi là chứng minh theo nghĩa hẹp. Trong phép chứng minh hiểu theo nghĩa rộng, bên cạnh những suy luận diễn dịch còn dùng những suy luận khác (quy nạp, tương tự động, xác suất, …) để rút ra những mệnh đề new từ những mệnh đề đã có sẵn.
Trong logic học có 1 ngành, cụ thể là lý thuyết chứng minh, nghiên cứu phép chứng minh hiểu theo nghĩa hẹp. Những phép chứng minh trong toán học cũng là chứng minh hiểu theo nghĩa hẹp. Nhưng lúc 1 luật sư chứng minh sự vô tội của 1 bị cáo; lúc 1 nhà kinh tế chứng minh sự đúng đắn, tính hiệu quả của 1 kế hoạch buôn bán; lúc 1 nhà xã hội học, bằng những con số thống kê của mình, chứng minh sự tồn tại của 1 xu hướng vươn lên là nhất định của xã hội; lúc 1 nhà tâm lý học, thông qua những thí nghiệm của mình, chứng minh sự tồn tại của 1 khả năng tư duy nào ấy tại khỉ đột, … thì những phép chứng minh này thông thường là chứng minh theo nghĩa rộng.
2. Cấu trúc
Phép chứng minh bao gồm cha thành phần: luận đề, luận cứ và lập luận. Luận đề là mệnh đề muốn chứng minh. Luận cứ là những sự kiện, quy luật, lý thuyết, … mà người ta dựa vào để khiến rõ tính đúng đắn của luận đề trong quy trình chứng minh. Lập luận là việc dùng những quy tắc logic và trình tự động sắp xếp những luận cứ trong quy trình chứng minh. Nói bí quyết khác, lập luận là bí quyết tiến hành chứng minh.
3. 1 số thí dụ
Dí dụ 1. “Lịch sử mọi những xã hội cho tới ngày nay chỉ là lịch sử đấu tranh giai cấp.
Người tự động do và người nô lệ, quý tộc và bình dân, chúa đất và nông nô, thợ cả của phường hội và thợ bạn, nói tóm lại, những kẻ áp bức và những người bị áp bức, luôn luôn đối kháng có nhau, đã tiến hành 1 cuộc đấu tranh ko ngừng, lúc công khai, lúc ngấm ngầm, 1 cuộc đấu tranh bao giờ cũng kết thúc hoặc bằng 1 cuộc cải tạo bí quyết mạng toàn bộ xã hội, hoặc bằng sự diệt vong của 2 giai cấp đấu tranh có nhau.
Trong những thời đại lịch sử trước tiên, gần như khắp mọi nơi, chúng ta đều thấy xã hội hoàn toàn chia thành những đẳng cấp khác nhau, 1 dòng thang chia thành từng nấc địa vị xã hội. Tại Rô-ma thời cổ, chúng ta thấy có quý tộc, hiệp sĩ, bình dân, nô lệ; thời trung cổ thì có lãnh chúa phong kiến, chư hầu, thợ cả, thợ bạn, nông nô, và hơn nữa, hầu như trong từng giai cấp đấy, lại có những thứ bậc đặc biệt nữa.
Xã hội tư sản tiên tiến, sinh ra từ trong lòng xã hội phong kiến đã bị diệt vong, ko xóa bỏ được những đối kháng giai cấp. Nó chỉ đem những giai cấp new, những hình thức đấu tranh new thay thế thế cho những giai cấp, những điều kiện áp ức, những hình thức đấu tranh cũ mà thôi.
Tuy nhiên, đặc điểm của thời đại chúng ta, của thời đại của giai cấp tư sản, là đã đơn giản hóa những đối kháng giai cấp. Xã hội ngày càng chia thành 2 phe lớn thù địch có nhau, 2 giai cấp lớn hoàn toàn đối lập có nhau: giai cấp tư sản và giai cấp vô sản.”
Trong đoạn văn trên đây, Mác và Ăngghen đã chứng minh luận đề “Lịch sử mọi những xã hội cho tới ngày nay chỉ là lịch sử đấu tranh giai cấp”. Để thực hành phép chứng minh này, những ông dẫn ra những chứng cứ lịch sử như sự phân chia thành những đẳng cấp tại những thời đại lịch sử trước tiên, tại Rô-ma thời cổ, tại thời trung cổ, và sự phân chia thành giai cấp trong xã hội tư sản cùng có cuộc đấu tranh trong những hình thức khác nhau trong những thời đại lịch sử đấy. Suy luận mà những ông dùng tại đây là suy luận quy nạp.
Dí dụ 2. “Cuộc khó khăn} sinh tồn là kết quả ko thể hạn chế được của đà tiến triển mau lẹ theo ấy mọi vật hữu cơ sinh sôi nảy nở. Trong cuộc sống tự động nhiên, từng vật này sinh sản nhiều trứng hay nhiều hạt, cần chịu đựng những cuộc tàn phá vào những thời kỳ, những mùa, những 5 nào ấy. Giả dụ khác thế, theo định luật sinh sản theo cấp số nhân, trong từng loài, số cá nhân sẽ nhiều tới nỗi ko 1 vùng nào đủ rộng để chứa đựng nổi. Vì số cá nhân sinh ra nhiều hơn số cá nhân có thể sống, vậy cần có 1 cuộc khó khăn} gắt gao hoặc giữa những cá nhân của cùng 1 loài, hoặc giữa những cá nhân thuộc những loài khác nhau, hoặc sau hết 1 cuộc tranh đấu chống lại những điều kiện vật chất của đời sống. Ấy là 1 cuộc tổng quát hóa những định luật của Malthus, vận dụng vào toàn thế giới hữu cơ, có 1 sức mạnh gấp mười; vì, trong giới sinh vật, ko thể có 1 phương tiện nào để gia nâng cao thực phẩm hay 1 bí quyết kiêng cữ thận trọng nào trong những cuộc hôn phối. Dẫu hiện thời vài loài đang gia nâng cao 1 bí quyết mau lẹ, nhiều hay ít, nhưng ấy ko thể là định luật chung cho toàn thể, vì thế giới có lẽ ko chứa đựng nổi.”
Luận đề cần chứng minh trong đoạn văn này chính là câu đầu của nó.
Dí dụ 3. “Xin dẫn thêm vài thí dụ nữa để chứng minh sự ko hàm súc và kém hiệu quả của phủ định. Những nhà sư phạm biết rằng, trường hợp chỉ cấm trẻ em khiến 1 việc gì ấy thì thực là vô ích – bày cho nó 1 hoạt động cụ thể hữu ích khác new là sáng suốt hơn. Cũng vì nguyên nhân ấy, những chưng sĩ tâm thần hạn chế những từ phủ định trong thực hành ám thị đối có bệnh nhân; thay thế vào ấy, họ cố tạo ra cho bệnh nhân 1 khái niệm dương tính có khả năng loại trừ khái niệm cũ. Ta cũng biết rằng, trong 1 số trường hợp rối loạn hoạt động tâm thần, người bệnh khó mà hiểu được những công thức phủ định của ngôn ngữ – ấy chính là vì đằng sau những công thức này ko hề có 1 hình ảnh cụ thể nào có thể cảm thụ bằng ngũ giác.
Hoàn toàn tương tự động, trong văn học phép phủ định hiếm lúc tạo được cho độc giả khái niệm dương tính. Hãy thử viết: “anh ta tóc ko vàng, mắt ko xanh, ko …” – hình ảnh nhân vật sẽ bị nhòe thành 1 mảng ko định hình.”
Như chính tác giả đã nói, tại đoạn văn trên dây tác giả dẫn “vài thí dụ nữa để chứng minh sự ko hàm súc và kém hiệu quả của phủ định”. Lập luận mà chúng ta gặp tại đây là quy nạp, từ nhiều thí dụ cho thấy tính ko hàm súc và kém hiệu quả của phủ định đi tới kết luận tổng quát về tính ko hàm súc và kém hiệu quả ấy.
Dí dụ 4. “Càng gặp khó khăn, càng bối rối, thì bọn vua Nhà Nguyễn lại càng ngờ vực chân tay của chúng. Chúng đã ngờ và làm thịt Nguyễn Văn Thành, chúng đã trừng trị chân tay của Lê Văn Thông qua. Bọn vua nhà Nguyễn nghi ngờ nhiều nhất những cựu thần nhà Lê hay con em của họ. Đối có họ, vua nhà Nguyễn thấy rằng ko dùng thì ko được, mà dùng thì cũng ko yên. Cuối cùng nhà Nguyễn đã dùng cựu thần nhà Lê, nhưng lại dùng bằng những thủ đoạn tàn nhẫn để chế ngự bọn kia khiến cho bọn kia khổ sở, điêu đứng, chìm nổi trong bể loạn. Cao Bá Quát đỗ á nguyên bị đánh xuống cuối bảng, ra khiến quan chưa được bao thời gian dài đã bị bí quyết chức, rồi được phục chức để cuối cùng bị làm thịt có những họ hàng. Nguyễn Công Trứ bị lên voi xuống chó ko biết bao nhiêu lần. Nguyễn Du, Phạm Quý Thích chỉ được dùng 1 bí quyết dè dặt .”
4. Đặc điểm của chứng minh trong những khoa học xã hội và nhân văn
– Khác có phép chứng minh trong toán học và logic học, những phép chứng minh trong những khoa học khác, đặc biệt là những phép chứng minh trong những khoa học xã hội và nhân văn, là chứng minh theo nghĩa rộng, là phép chứng minh ko chỉ dựa vào những suy luận diễn dịch, mà còn dựa vào những suy luận quy nạp, xác suất, tương tự động, – những suy luận chỉ đảm bảo kết luận có cơ sở để tin cậy, nhưng ko đảm bảo dĩ nhiên chắn đúng – nên ko có tính chặt chẽ tuyệt đối, mà chỉ đảm bảo 1 mức độ chặt chẽ tương đối, có thể chấp nhận được. Giả dụ phép chứng minh 1 mệnh đề trong toán học hoặc logic học đảm bảo dĩ nhiên chắn mệnh đề ấy đúng, ko thể phản chưng được, thì phép chứng minh mệnh đề trong những khoa học xã hội và nhân văn (và nhiều khoa học khác) ko đảm bảo dĩ nhiên chắn tính đúng đắn của mệnh đề. Phép chứng minh tại đây chỉ có tính thuyết phục nhiều hay ít mà thôi. Chính vì vậy bí quyết tiến hành chứng minh, số lượng và bí quyết dùng những sự kiện và tri thức đã biết có 1 tầm quan yếu siêu lớn trong những phép chứng minh này.
– Tại những phép chứng minh trong khoa học xã hội và nhân văn, những luận cứ thường được dẫn ra cùng có sự lý giải, giải thích nguyên nhân (xem thí dụ 2, 3 trong phần 3).
5. Những phương pháp chứng minh
Những phương pháp chứng minh có thể chia thành 2 loại: chứng minh quản lý và chứng minh gián tiếp.
a. Chứng minh quản lý
Chứng minh quản lý là phép chứng minh trong ấy từ tính chân thực của những luận cứ rút ra tính chân thực của luận đề mà ko dùng tới phản luận đề.
Dí dụ 5. Có 6 người, trong ấy 2 người bất kỳ nào cũng hoặc là bạn của nhau, hoặc là kẻ thù của nhau. Ta chứng minh rằng trong số 6 người này có 3 người là bạn lẫn nhau, hoặc có 3 người là kẻ thù lẫn nhau.
Giải. Gọi A là 1 người trong số 6 người đã nêu. Trong 5 người còn lại cần có ít nhất 3 người bạn của A, hoặc có ít nhất 3 kẻ thù của A, vì trường hợp cả số bạn và số thù của A đều bé hơn 3 thì tổng số của họ bé hơn 5. Sở hữu trường hợp 1, ta gọi 3 người trong số bạn của A là B, C, D. Giả dụ trong số này có 1 cặp nào ấy là bạn của nhau thì cùng có A họ hợp thành nhóm 3 người bạn lẫn nhau. Ngược lại, trường hợp trong 3 người B, C, D ko ai là bạn của ai thì họ chính là nhóm 3 người thù lẫn nhau. Sở hữu trường hợp có ít nhất 3 kẻ thù của A chứng minh tương tự động.
Phương pháp chứng minh quản lý chỉ dùng thông tin có trong những luận cứ nên khó tiến hành, thường hay lạc hướng.
b. Chứng minh gián tiếp
Chứng minh gián tiếp là phép chứng minh trong ấy từ tính chân thực của những luận cứ rút ra tính giả dối của phản luận đề, rồi từ đây rút ra tính chân thực của luận đề. Trong phép chứng minh gián tiếp, vì có dùng thông tin chứa trong phản luận đề nên ít lúc bị lạc hướng, dễ thực hành hơn.
2 phương pháp chứng minh gián tiếp thường gặp là chứng minh bằng phản chứng và chứng minh phân liệt. Lúc chứng minh bằng phản chứng 1 luận đề, người ta xuất phát từ giả định nó sai, nghĩa là phản luận đề đúng. Từ đây, cùng có những luận cứ người ta đi tới 1 nghịch lý. Nghịch lý này chứng tỏ điều giả định là sai, và như vậy điều ngược lại có nó – tức là luận đề – đúng. Chứng minh bằng phản chứng có sơ đồ như sau.
Gọi B1, B2, … , Bn là những luận cứ, A là luận đề, C là mệnh đề nào ấy, lúc ấy:
Trong sơ đồ này trường hợp từ giả định phản luận đề ¬A và những luận cứ B1, B2,
… , Bn vừa có thể rút ra mệnh đề C nào ấy, vừa có thể rút ra phủ định của C, tức là ¬C, thì có thể rút ra luận đề A.
Dí dụ 6. Giả dụ 7n + 3 là số lẻ thì n là số chẵn.
Chứng minh: Giả sử luận đề đã cho sai. Lúc ấy 7n + 3 là số lẻ, nhưng n là số lẻ. Vì n lẻ nên n = 2k – 1, có ok là số tự động nhiên nào ấy. Lúc ấy 7n + 3 = 7(2k – 1) + 3 = 14k – 4 = 2(7k – 2). Như vậy 7n + 3 là số chẵn. Điều này mâu thuẫn có giả định 7n + 3 lẻ. Vậy ko thể nói luận đề đã cho sai, hay nói bí quyết khác , luận đề đã cho đúng.
Chứng minh bằng phản chứng là phương pháp chứng minh siêu thường được dùng trong toán học và những lĩnh vực khác. Tuy nhiên trong logic kiến thiết và toán học kiến thiết, toán học trực giác, phương pháp chứng minh này lại ko được chấp nhận. Điều này liên quan tới ý kiến về sự tồn tại của những đối tượng xuất sắc, trong những ngành khoa học vừa nêu, đối tượng được coi là tồn tại lúc và chỉ lúc có thể chỉ ra phương pháp xây dựng nó qua 1 số bước hữu hạn.
Chứng minh phân liệt là chứng minh 1 mệnh đề tuyển có chứa luận đề và loại bỏ mọi những khả năng, ngoại trừ khả năng của luận đề. Nói bí quyết khác, đây là phép chứng minh dựa trên quy tắc tam đoạn luận lựa chọn:
Dí dụ 7. Có 1 vụ cháy trong thành phố. Cơ quan điều tra chứng minh rằng nguyên nhân gây ra vụ cháy này là bất cẩn lúc đun nấu. Vì quy trình điều tra trước hết đã cho thấy rằng nguyên nhân của vụ cháy này là do bất cẩn lúc đun nấu, hoặc do sự cố về điện, hoặc do có kẻ cố tình đốt. Tiếp tục đã xác định được thêm rằng lúc xảy ra vụ cháy này ko hề có sự cố về điện nào, nguyên nhân có kẻ cố tình đốt cũng bị loại trừ, vậy chỉ còn lại khả năng cháy do bất cẩn lúc đun nấu.
Lúc vận dụng phương pháp chứng minh phân liệt trong những lĩnh vực của đời sống cần cần đặc biệt lưu ý tới tính chân thực của tiền đề dạng tuyển. Chính vì trong cuộc sống thực tế nhiều lúc ko thể đảm bảo tính chân thực tuyệt đối của những mệnh đề dạng này nên tính thuyết phục của chứng minh phân liệt bị hạn chế. Đây cũng chính là nguyên nhân khiến cho chứng minh phân liệt chỉ được chấp nhận 1 bí quyết hạn chế trong hoạt động tư pháp. Chẳng hạn, tòa án ko thể chấp nhận phép chứng minh phân liệt để buộc tội cho 1 bị cáo trong câu chuyện sau đây. Trên 1 hòn đảo nọ chỉ có 3 người A, B, C. Người C bị làm thịt chết. Thủ phạm làm thịt người chỉ là A hoặc B. Cơ quan điều tra xác định được rằng A ko cần là thủ phạm, vậy dĩ nhiên chắn B là thủ phạm.
(Nguồn tài liệu: Phạm Đình Nghiêm, Nhập môn logic học)
