Mở đầu
Bài này mình xin được giải thích bản chất của 3 khái niệm quan yếu hàng đầu trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân để chỉ ra chúng có ý nghĩa như thế nào.Bạn đang xem: Dy/dx là gì
Bài viết này sẽ ko đi sâu vào chứng minh công thức, định nghĩa mà chỉ tập trung vào nói rõ bản chất của đạo hàm, tích phân và vi phân.
Bạn đang xem: Đạo Hàm Dy/Dx Là Gì ? Ứng Dụng Vi Phân Vào Phép Tính Sắp Đúng Tìm Đạo Hàm
Ví dụ bạn đã từng có 1 thời dữ dội cày đề đại học ngày xưa thì chắc hẳn ko thể quên được bài toán đầu đề là khảo sát hàm số, tính tiếp tuyến đồ thị, bài toán tính đạo hàm hay tích phân. Lúc đấy chúng ta chỉ cắm cúi vào cày đề chứ cũng ít ai lưu ý tới bản chất nó là loại gì, nó để làm cho gì và ko hiểu tại sao nó lại có được công thức loằng ngoằng như thế.
Thực ra ví dụ bạn hiểu tiếng hán của 3 từ đạo hàm, tích phân và vi phân thì bạn sẽ mường tượng được ý nghĩa của nó.
Mình xin đi vào từng phần.
Xét hàm số y = f(x) thì:
Đạo hàm
Đạo (tiếng hán導)nghĩa là chỉ dẫn, chỉ đạo, nó cũng thuộc những từ: đạo diễn, chỉ đạo, lãnh đạo,…
Hàm (tiếng hán函)nghĩa là bao hàm, loại để chứa vào, từ hàm này cũng chính là từ hàm trong từ hàm số.
Gộp 2 từ lại bạn sẽ hiểu nó là 1 nơi chứa sự chỉ đạo, tức là thứ chỉ đạo sự biến thiên của hàm số f(x) là sẽ nâng cao hay giảm và nâng cao hay giảm nhanh hay chậm.
Lúc đề cập tới “đạo hàm” thì chúng ta mặc định đang nói về đạo hàm cấp 1, còn ví dụ muốn chỉ rõ là đạo hàm cấp lớn hơn 1 thì nói rõ ra nó là cấp mấy, dí dụ đạo hàm cấp 2, cấp 3,…
Đạo hàm của f(x) là 1 thứ (ký hiệu là f’(x)) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm f(x) tại 1 điểm x xác định nào đấy.Giá trị của đạo hàm tại x0 chính làgiá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến sở hữu hàm số f(x) tại x0(xem phần độ dốc phía dưới).
Ví dụ tại điểm x0giá trịhàm số đang nâng cao thì f”(x0) > 0, đang giảm thì f”(x0) Ví dụ tại điểm x0 mà |f”(x0)| lớn thì hàm số đang nâng cao (hoặc giảm) nhanh, còn ví dụ |f”(x0)| bé thì hàm số đang nâng cao (hoặc giảm) chậm.
Qua đấy ta biết được ứng dụng chủ yếu của đạo hàm là cho biết được sự phụ thuộc của 2 hay nhiều đại lượng, như trên dí dụ trên thìxnâng cao thì ynâng cao hay giảm và nâng cao hay giảm nhanh hay chậm? Ứng dụng này siêu quan yếu trong siêu nhiều lĩnh vực đời sống vì ta ko cần khảo sát, đo đạc thực tế để kiểm chứng điều này mà chỉ cần ứng dụng đạo hàm vào để tính.
Khiến sao để mô tả được sự biến thiên tức thời của y = f(x) tại x0?
Như bạn đã biết, dí dụ dễ hiểu nhất và chính xác nhất cho sự biến thiên tức thời này chính là vận tốc của 1 chất điểm chuyển động, nó được tính bằng quãng đường tức thời (giá trị tính theo f(x)) chia cho thời kì tức thời (giá trị tính theo x) đi được quãng đường tức thời đấy.
Sự biến thiên tức thời tại điểm x0 này chính là sự biến thiên của f(x) lúc x dịch chuyển 1 đoạn vô cùng bé từ x0 tới x1, hiệux1 – x0 = ∆x = dxnhỏ tới mức sắp như bằng 0 (ko thể tuyệt đối bằng 0 được vì ví dụ thế sẽ là ko dịch chuyển, mà ko dịch chuyển thì ko thể có khái niệm độ biến thiên tức thời được).
Tức là đạo hàm của y tại x0 là y” = f”(x) =f(x1) – f(x0)x1 – x0khi∆x tiến dần tới 0.
y” = f”(x) =lim∆x→0f(x0 + ∆x) – f(x0)∆x = dydx
Về mặt hình học, đạo hàm tại x0 của f(x) chính là hệ số góc (hay độ dốc) của đường thẳng tiếp tuyến sở hữu hàm số y = f(x) tại điểm x0 (chứng minh thì bạn tham khảo thêm trên sentayho.com.vn/tai-sao-tiep-tuyen-cua-o-thi-ham-so-lai/).
Ví dụ hàm số f(x) có đường thẳng tiếp tuyến tại x0 thì new có đạo hàm tại x0, ngược lại sẽ ko có đạo hàm tại x0.
Công thức đạo hàm: y’ = f’(x) = dydx
Độ dốc
Độ dốc (hay hệ số góc) cho biết được hàm số tại điểm xác định đang nâng cao (hay giảm) 1 phương pháp nhay hay chậm.
Độ dốc của 1 đường thẳng trên 1 mặt phẳng được định nghĩa là tỉ lệ giữa sự thay thế đổi trên tọa độ y chia cho sự thay thế đổi trên tọa độ x: m = ∆y∆x = tan(θ)
Độ dốc của tiếp tuyến của hàm số f(x) tại x0 được tính bằng phương pháp tính đạo hàm tại x0 như đã nói trên trên.
Xem thêm: Điều Kiện Dap Incoterms 2010 Là Gì ? Điều Kiện Ddp Là Gì Trong Xuất Nhập Khẩu
Vì sao lại đặt tên là độ dốc?
Vì lúc nó càng dốc thì hàm số thay thế đổi càng nhanh và ngược lại.
Đạo hàm cấp 2
Đạo hàm cấp 2 tại 1 điểm x0 trên đồ thị f(x) cho biết là đường cong của f(x) tại điểm x0 đấy đang “cong” hướng lên trên hay xuống dưới. Điều này có ý nghĩa trong việc tìm giá trị bé nhất hay lớn nhất của đồ thị.
Phía trên ta đã biết có thể tính được chóp của đồ thị bằng phương pháp cho đạo hàm cấp 1 bằng 0 (vì đồ thị đổi chiều lúc f”(x) = 0) nhưng ta ko biết được là nó đang đổi chiều từ đi xuống sang đi lên hay từ đi lên sang đi xuống.
Ví dụ đồ thị f(x) đang đổi từ đi xuống sang đi lên nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng lên và giá trị tại chópchính là giá trị bé nhất.Ngược lại, ví dụ đồ thị f(x) đang đổi từ đi lên sang đi xuống nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng xuống và giá trị tại chópchính là giá trị lớn nhất.
Để nhận biết đồ thị đang “cong” hướng lên hay xuống tại điểm x0thì ta chỉ cần tính đạo hàm cấp 2tại x0là được:
Ví dụ f””(x0) > 0 thì đồ thị đang “cong” hướng lên, và ví dụ f(x) có chóp tại x0thì f(x) có giá trị bé nhất tại x0.Ngược lại, ví dụ f””(x0)
Công thức đạo hàm cấp 2:y”” = f””(x) = dydx” = d2ydx2
Nguyên hàm
Phần nguyên hàm mình cho vào phần con của đạo hàm vì nguyên hàm được định nghĩa từ đạo hàm, ngược lại của tìm đạo hàm là tìm nguyên hàm.
Từ f(x)
ví dụ ta tìm được hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) thì F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x).
Có vô số hàm số F(x) như vậy vì đạo hàm của hằng số bằng 0, do đấy họ những nguyên hàm của f(x) sẽ có dạng là F(x) = biểu thức phụ thuộc vào x + hằng số C
Ví dụf(x) = x2thìF(x) = x33 + C
Vi phân
Chữ vi (tiếng hán微)nghĩa là bé (như vi khuẩn, vi sinh vật, tinh vi).
Chữ phân (tiếng hán分, cũng đọc là phần)nghĩa là từng phần (như phân nửa, phân chia, phân phát).
Vi phân nghĩa là từng phần siêu bé, ứng dụng vào hàm số là lúc chia 1 hàm số ra từng phần siêu bé.
Vi phân là hiệu giá trị của hàm số y tại từng đoạn nhỏdx = ∆x = x1 – x0, dí dụ x chạy 1 đoạn siêu bé từ x0 tới x1 thì vi phân (đoạn bé của y) cũng chính là giá trị biến thiên tức thời f’(x) nhân sở hữu khoảng tham số biến thiên (hiểu đơn giản nó chính là quãng đường thay thế đổi tức thời = vận tốc biến thiên tức thời x thời kì tức thời trong khoảng biến thiên đấy).
Vi phân của hàm số y = f(x) ký hiệu là dy hay df(x)
Công thức vi phân: dy = df(x) = f(x1) – f(x0) = f’(x)dx = y’dx
Như vậy xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân sở hữu sự thay thế đổi siêu bé của x sát sở hữu x0 (là dx).
Nhưng xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân ko có quan hệ gì sở hữu nhau hết. Đạo hàm dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự biến đổi tức thì, còn vi phân dựa vào y’dx để lấy từng phần siêu bé trên hàm số y = f(x).
Tích phân
Chữ tích (tiếng hán積)nghĩa là chồng chất, chất đống lên nhau (như tích góp, tích lũy).
Chữ phân (tiếng hán分)đã nói trên trên.
=> Tích phân là tổng của nhiều phần bé.
Và từng phần bé này là tích của dx và f(x).
Tới đây ta có thể nhận ra tích phân và vi phân mang trong mình ý nghĩa trái ngược nhau, 1 thằng là tính tổng những phần bé còn 1 thằng là tách thành những phần bé. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ ko nên ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của những phần bé f(x)dx.
Vì có phương pháp tính như vậy nên tích phân xác định lúc x chạy từ a tới b cũng chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị hàm số f(x) và những đường thẳng x = a, x = b (Chứng minh cho điều này thì bạn xem lại sách giải tích).
Công thức tích phân:∫abf(x)dxTa đã để cập tới được mối quan hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân và tích phân rồi, thế còn mối quan hệ của đạo hàm và tích phân là gì?
Nhìn vào công thức và về mặt ý nghĩa rõ ràng ta ko thấy có mối quan hệ nào giữa đạo hàm và tích phân, nhưng từ đạo hàm ta lại có thể tính được tích phân, đấy chính là nội dung của công thức Newton-Leibniz:
Giả sử muốn tính tích phân của hàm số f(x) lúc x chạy từ a tới bthì:
Công thức Newton-Leibniz: S =∫abf(x)dx = g(b) – g(a) sở hữu g(x) là nguyên hàm của f(x)
Vậy để tính tích phân xác địnhcủa 1 hàm số, ví dụ ta xác định được nguyên hàm của nó (nguyên hàm là thứ ngược lại của đạo hàm => mối quan hệ của đạo hàm và tích phân chính là thông qua nguyên hàm) thì ta sẽ dễ dàng tính được ngay.
Kết luận
Ta rút ra được mối quan hệ của đạo hàm, tích phân và vi phân như sau:
