Nhận định Đường cao là gì? Tính chất và Công thức tính đường cao trong tam giác

Đường cao là 1 đường thẳng có tính chất quan yếu trong tam giác và liên quan siêu nhiều tới những bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Bí quyết tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp tri thức về chủ đề đường cao là gì, cùng tìm hiểu nhé!.

Định nghĩa đường cao là gì ?

  • Trong toán học, đường cao của 1 tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ 1 đỉnh và vuông góc có cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng có đường cao.
  • Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao có đáy thì được gọi là chân của đường cao.
  • Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng bí quyết giữa đỉnh và đáy.

Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác

Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được dùng để tính diện tích tam giác

Cho tam giác ( ABC ) có đường cao ( AH ) tương ứng có cạnh đáy ( BC ) . Lúc ấy diện tích tam giác ( ABC ) được tính theo công thức:

( S_{Delta ABC}=[latex]frac{một}}{2}BC.AH)

Công thức trên cũng thường được dùng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: (AH=frac{2.S_{Delta ABC}}{BC})

Dí dụ 1:

Cho tam giác ( ABC ) đường cao ( AH ) . Lấy ( M ) là trung điểm ( AC.) . Kẻ ( MK ) vuông góc có ( BC) . Biết (frac{HB}{HC}=frac{một}}{3}), tính tỉ số (frac{S_{Delta MKC}}{S_{Delta ABC}})

Bí quyết giải:

Vì (left{start{matrix} MK bot BC AH bot BC finish{matrix}proper. Rightarrow AH || BC)

Mà vì ( M ) là trung điểm ( AC ) nên ( Rightarrow MK ) là đường trung bình của tam giác ( AHC )

( Rightarrow Ok ) là trung điểm của ( HC )

(Rightarrow frac{KC}{HC}=frac{một}}{2})

Vì (frac{HB}{HC}=frac{một}}{3}Rightarrow frac{HC}{BC}=frac{3}{4})

(Rightarrow frac{KC}{BC}=frac{3}{8})

Do ( MK ) là đường trung bình của tam giác ( AHC ) nên (frac{MK}{AH}=frac{một}}{2})

Vậy ta có :

(frac{S_{Delta MKC}}{S_{Delta ABC}}=frac{MK.KC}{AH.BC}=frac{MK}{AH}.frac{KC}{BC}=frac{một}}{2}.frac{3}{8}=frac{3}{16})

Tính chất đường cao trong tam giác cân

  • Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng có cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng có cạnh đáy ấy. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
  • Bên cạnh ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc trên đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
  • Ngược lại giả dụ như 1 tam giác những có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác ấy chính là tam giác cân.
Xem Thêm  Tìm hiểu i cư là gì | Sen Tây Hồ

Dí dụ 2:

Cho tam giác ( ABC ) đường cao ( AH ) và ( HC=2HB ) . Trên đường thẳng đi qua ( C ) đồng thời có ( AH ) , lấy điểm ( Ok ) sao cho ( CK = AH ) và ( Ok ) nằm khác phía có ( A ) qua ( BC ) . (AK cap BC = D). Chứng minh tam giác ( ABD ) cân

Bí quyết giải:

Vì (left{start{matrix} AH bot BC CK bot BC finish{matrix}proper. Rightarrow AH || CK)

Mà ( AH=CK Rightarrow AHCK ) là hình bình hành

( Rightarrow D ) là trung điểm của ( HC )

(Rightarrow frac{HD}{HC}=frac{một}}{2}=frac{HB}{HC} Rightarrow HB=HD)

( Rightarrow ) AH là đường trung tuyến của tam giác ( ABD )

Mà ( AH ) cũng là đường cao của tam giác ( ABD )

( Rightarrow ) tam giác ( ABD ) cân tại ( A )

Chú ý: Tam giác đều là 1 dạng đặc biệt của tam giác cân. Do ấy, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự động như tính chất đường cao trong tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông thì đường cao có đáy là 1 cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại xuống 2 cạnh góc vuông của tam giác.

Tính chất đường cao trong tam giác đều

Tìm hiểu những công thức tính đường cao trong tam giác

Công thức Heron: Đây là công thức tổng quát để tính độ dài đường cao của tam giác bất kỳ

(h_a=2frac{sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a})

Trong ấy:

( a,b,c ) là độ dài cha cạnh của tam giác

( p ) là nửa chu vi: (p=frac{a+b+c}{2})

( h_a ) là độ dài đường cao tương ứng có cạnh đáy ( a )

Bên cạnh ra trong 1 số tam giác đặc biệt ta có thể dùng những công thức khác để tính đường cao tam giác.

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

(AH=sqrt{AB^2-frac{BC^2}{4}})

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

(AH=sqrt{AB^2-frac{BC^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{4})

Xem Thêm  Prime 29 bộ truyện đam mỹ hay nhất ko thể bỏ qua

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng những công thức như sau:

(AH =frac{AB.AC}{BC})

(AH =sqrt{HB.HC})

(frac{một}}{AH^2}=frac{một}}{AB^2}+frac{một}}{AC^2})

Dí dụ 3:

Cho tam giác ( ABC cân tại [latex] A có đường cao [latex] AH và [latex] BK. Chứng minh rằng :

[latex]frac{một}}{BK^2}=frac{một}}{BC^2}+frac{một}}{4AH^2})

Bí quyết giải:

Dựng đường thẳng vuông góc có ( BC ) tại ( B ) cắt đường thẳng ( AC ) tại ( D ) . Lúc ấy ta có :

(left{start{matrix} AH bot BC BD bot BC finish{matrix}proper.Rightarrow AH || BD)

Vì tam giác ( ABC ) cân tại ( A ) nên đường cao ( AH ) cũng là trung tuyến của ( BC )

( Rightarrow H ) là trung điểm ( BC )

( Rightarrow AH ) là đường trung bình của tam giác BCD [/latex]

( Rightarrow BD = 2AH )

Vận dụng hệ thức lượng có tam giác vuông ( BCD ) ta có :

(frac{một}}{BK^2}=frac{một}}{BC^2}+frac{một}}{BD^2}=frac{một}}{BC^2}+frac{một}}{4AH^2})

Tìm hiểu về trực tâm tam giác

Định nghĩa trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của cha đường cao xuất phát từ cha đỉnh của tam giác ấy, đồng thời vuông góc có cạnh đối diện. Cha đường cao này sẽ giao nhau tại 1 điểm, ta gọi ấy là trực tâm của tam giác.

  • Đối có tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm trên miền trong tam giác ấy.
  • Đối có tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.
  • Đối có tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm trên miền bên cạnh tam giác ấy.

Tính chất trực tâm tam giác

Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh lưu ý. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:

  • Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ấy.
  • Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ 1 đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ấy tại điểm thứ 2 là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.
  • Khoảng bí quyết từ 1 điểm tới trực tâm của tam giác sẽ bằng 2 lần khoảng bí quyết từ tâm đường tròn ngoại tam giác ấy tới cạnh nối của 2 đỉnh còn lại.
Xem Thêm  Phương pháp Chơi Hero 3 Would possibly And Magic On-line, Chuyên Phần Heroes 3 – AU3D.VN

Chứng minh tính chất trực tâm tam giác

Gọi ( H ) là trực tâm tam giác ( ABC ) . Dựng đường kính ( BD ) . Kẻ ( OI /bot BC )

Vì ( BD ) là đường kính (Rightarrow widehat{BCD}=90^{circ})

(Rightarrow DC bot BC). Mà ( AH bot BC )

(Rightarrow AH || CD)

Tương tự động có ( AD || CH ) do cùng vuông góc có ( AB )

Vậy (Rightarrow AHCD) là hình bình hành

(Rightarrow AH = CD ;;;; (1))

Xét ( Delta BCD ) có :

( O ) là trung điểm ( BD )

( OI || CD ) do cùng vuông góc có ( BC )

(Rightarrow OI) là đường trung bình của tam giác ( BCD )

(Rightarrow OI = frac{CD}{2} ;;;;; (2))

Từ ( (1)(2) Rightarrow AH = CD =2OI)

Dí dụ 4:

Cho tam giác ( ABC nội tiếp đường tròn [latex] (O) ) . Dựng đường cao ( AN,CK ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ( BKN ) cắt ( (O) ) tại điểm thứ 2 ( M ) . Gọi ( I ) là trung điểm ( AC ) . Chứng minh rằng ( IM bot IB )

Bí quyết giải:

Lấy ( J ) là trung điểm ( BH )

Vì (widehat{BKH}=widehat{BNH}=90^{circ} Rightarrow) tứ giác ( BNHK ) nội tiếp đường tròn đường kính ( BH )

(Rightarrow widehat{BMH}=90^{circ}) hay ( BM bot MH ;;;;; (1) )

Theo tính chất trực tâm ta có :

(OI=frac{BH}{2}=JH)

Mặt khác : (left{start{matrix} OI bot AC JH bot BC finish{matrix}proper.Rightarrow OI || JH)

(Rightarrow OIHJ) là hình bình hành

(Rightarrow HI || OJ ;;;; (2))

Do ( J ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( BMH ) nên ta có :

( JM=JB )

Mặt khác ( OM=OB )

(Rightarrow OJ) là đường trung trực của ( BM )

(Rightarrow OJ bot BM ;;;; (3))

Từ ( (2)(3) Rightarrow HI bot BM )

Mà từ ( (1) ) có ( MH bot BM )

Từ ấy (Rightarrow overline{I,H,M}) và ( IM bot MB )

Bài viết trên đây của sentayho.com.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và những phương pháp giải bài toán liên quan tới đường cao trong tam giác. Hy vọng tri thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quy trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề đường cao là gì. Chúc bạn luôn học phải chăng!.

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: sentayho.com.vn)

Xem thêm >>> Chuyên đề số trung bình cùng lớp 7 và Những dạng toán liên quan