Định nghĩa đường trung tuyến là gì? Tính chất của đường trung tuyến? Công thức tính độ dài đường trung tuyến? Đặc điểm của đường trung tuyến? Lý thuyết và những dạng bài tập về định nghĩa đường trung tuyến?… Hãy cùng sentayho.com.vn tìm hiểu chi tiết về chủ đề đường trung tuyến cũng như những nội dung liên quan qua bài viết cụ thể dưới đây nhé!.
Định nghĩa đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng ấy.
Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác
Trong hình học thì đường trung tuyến của 1 tam giác được định nghĩa là 1 đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Từng tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Thí dụ:
Theo như hình vẽ trên thì những đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
- Bố đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm ấy bí quyết đỉnh 1 khoảng bằng (frac{2}{3}) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đấy.
- Giao điểm của bố đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
- Vùng của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác bí quyết từng đỉnh 1 khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đấy.
Thí dụ:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có những trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:
(frac{AG}{AI}) = (frac{BG}{BM}) = (frac{CG}{CN}) = (frac{2}{3})
1 số định lý đường trung tuyến trong tam giác
Thực hành: Cắt 1 tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm 1 cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này có đỉnh đối diện. Bằng bí quyết tương tự động, hãy vẽ tiếp 2 đường trung tuyến còn lại.
Xem tam giác vừa cắt (trên ấy đã vẽ bố đường trung tuyến). Cho biết: Bố đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua 1 điểm hay ko?
Định lý 1: Bố đường trung tuyến của 1 tam giác cùng đi qua 1 điểm. điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác ấy.
Định lý 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác đấy thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau. Bố trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác bé có diện tích bằng nhau.
Thí dụ minh họa:
Tam giác (Delta ABC) có D, E, F là BC, CA, AB. Lúc ấy AD, BE, CF lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ bố đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy tại G.
Ta có G là trọng tâm của tam giác (Delta ABC).
Theo định nghĩa, AE=EC, CD=DB, BF= FA, do ấy:
(SDelta AGE=SDelta CGE;SDelta BGD=SDelta CGD; SDelta AGF=SDelta BGF ) trong ấy kí hiệu (SDelta ABC ) là diện tích của tam giác ABC.
Điều này đúng bởi trong từng trường hợp 2 tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của 1 tam giác thì bằng 1/2 chiều dài đáy nhân có đường cao, lúc đấy 2 tam giác đấy có diện tích bằng nhau.
Chúng ta có:
(SDelta ACG=SDelta ACD-SDelta CGD;SDelta ABG=SDelta ABD-SDelta BGD )
Do ấy ta có :(SDelta ABG=SDelta ACG) và (SDelta DBG=SDelta DCG); (SDelta CDG=frac{mỗi}}{2}SDelta ACG)
Do (SDelta BGF=SDelta AGF), (SDelta AGF=frac{mỗi}}{2}SDelta ACG=SDelta BGF=frac{mỗi}}{2}SDelta BCG)
Do vậy, (SDelta AFG=SDelta BFG=SDelta BGD=SDelta CGD)
Dùng cùng phương pháp này. ta có thể chứng minh điều sau:
(SDelta AFG=SDelta BFG=SDelta BGD=SDelta CGD=SDelta CGE= SDelta AGE )
Định lý 3 : Về vùng trọng tâm: Trọng tâm của 1 tam giác bí quyết từng đỉnh 1 khoảng bằng (frac{2}{3}) độ dài đường trung tuyến qua đỉnh đấy.
Thí dụ như sau:
Tam giác (Delta ABC) có AD, BE, CF lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ bố đỉnh A, B, C. Theo định lý 1 thì bố đường này đồng quy tại 1 điểm gọi là điểm G.
Theo định lý 2 thì:
(AG=frac{2}{3}AD; BG=frac{2}{3}BE; CG=frac{2}{3}CF)
Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là 1 trường hợp đặc biệt của tam giác, trong ấy, tam giác sẽ có 1 góc có độ lớn là 90 độ, và 2 cạnh tạo nên góc này vuông góc có nhau.
Chính bởi vậy mà đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có toàn bộ những tính chất của 1 đường trung tuyến tam giác.
Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng có cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
1 tam giác có trung tuyến ứng có 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đấy là tam giác vuông.
Thí dụ 1:
Tam giác ABC vuông tại B, độ dài đường trung tuyến BM sẽ bằng MA, MC và bằng (frac{mỗi}}{2}) AC
Ngược lại ví dụ BM = (frac{mỗi}}{2}) AC thì tam giác ABC sẽ vuông tại B.
Thí dụ 2:
Tam giác (Delta ABC) vuông tại A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng (frac{mỗi}}{2}) BC.
Ngược lại ví dụ AM = (frac{mỗi}}{2}) BC thì tam giác (Delta ABC) sẽ vuông tại A.
Chứng minh:
Cho tam giác (Delta ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
- Giả dụ = 900 thì MA = (frac{mỗi}}{2}) BC
- Giả dụ MA = (frac{mỗi}}{2}) BC thì góc (widehat{A}) = 900.
Xét tam giác (Delta ABC) có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
(widehat{AMB}) = (widehat{NMC}) (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: tam giác tam giác (Delta MAB) = tam giác tam giác (Delta MNC) (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và (widehat{MBA}) = (widehat{MCN})
- a) Do (widehat{MBA}) = (widehat{MCN}) nên AB // NC suy ra (widehat{BAC}) + (widehat{ACN}) = 1800.
Giả dụ góc (widehat{BAC}) = 900 thì góc (widehat{ACN}) = 900.
Lúc ấy ta có: tam giác (Delta ABC) = tam giác (Delta CNA) (c.g.c) vì có AC chung; AB = NC (cmt) và (widehat{BAC})= (widehat{ACN}) = 900.
Ta có: AN = BC => AM = (frac{mỗi}}{2}) BC
- b) Ta có: MA = (widehat{A}) AN. Giả dụ MA =(widehat{A}) BC thì AN = BC.
Lại có AB = CN (cmt)
Suy ra tam giác (Delta ABC) = tam giác (Delta CNA) (c.c.c), suy ra: góc (widehat{BAC}) = góc (widehat{ACN})
Mà (widehat{BAC}) + (widehat{ACN}) = 1800 (vì AB // CA) nên (widehat{BAC}) = 900 (dpcm)
Bài tập thí dụ: Cho tam giác vuông ABC có 2 cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng bí quyết từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Gợi ý giải: Dùng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông: đường trung tuyến ứng có cạnh huyền thì có độ dài bằng 50% cạnh huyền và định lý Pitago.
Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
Tính chất: Đường trung tuyến trong tam giác cân (và tam giác đều) ứng có cạnh đáy thì vuông góc có mẫu đấy và chia tam giác những thành 2 tam giác bằng nhau.
Tam giác đều (Delta ABC) có AM, BN, CP lần lượt là bố đường trung tuyến của tam giác. Theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều ta có:
(AMbot BC; BNbot AC; CPbot AB)
và (Delta ABM=Delta ACM; Delta ABN=Delta CBN; Delta ACP=Delta BCP ).
Bài tập thí dụ:
Chứng minh trong 1 tam giác cân thì 2 đường trung tuyến ứng có 2 cạnh bên thì bằng nhau
Chứng minh định lý đảo của định lý trên: Giả dụ tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác ấy cân.
Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến
Ta có thể tính được độ dài đường trung tuyến của 1 tam giác thông qua độ dài những cạnh của tam giác đấy. Độ dài của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau:
Trong ấy a, b và c là những cạnh của tam giác có những trung tuyến tương ứng (m_{a}, m_{b}, m_{c}) từ trung điểm.
Vậy là ta đã tìm hiểu khá toàn bộ về định nghĩa và tính chất của đường trung tuyến, cũng như vận dụng nó trong 1 số trường hợp đặc biệt. Sau đây chúng ta hãy luyện tập thông qua 1 số bài tập đơn giản nhé.
1 số bài tập đường trung tuyến lớp 7
Thí dụ 1: Cho 2 đường thẳng x’x và y’y gặp nhau tại O. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B có L, B có M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh những đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Bí quyết giải:
Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của (Delta BLM) (1)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)
Suy ra (AO= frac{mỗi}}{3} BO) hay (BA= frac{2}{3} BO) (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của (Delta BLM) ( tính chất của trọng tâm)
mà LP và MQ là những đường trung tuyến của (Delta BLM) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)
suy ra những đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( tính chất của bố đường trung tuyến)
Thí dụ 2: Cho (Delta ABC) có BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:
- EF=BC
- Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Bí quyết giải:
a.) Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác (Delta ABC).
(Rightarrow GC=2GN)
mà (FG=2GN Rightarrow GC=GF)
Tương tự động BG, GE và (widehat{G_{mỗi}}}=widehat{G_{2}}) (đd). Do ấy (Delta BGC=Delta EGF (c.g.c)))
Suy ra BC=EF
b.) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ bố trong tam giác ABC
nên AG đi qua trung điểm của BC.
Trắc nghiệm tính chất bố đường trung tuyến của tam giác
Câu 1: Chọn câu sai:
- Trong 1 tam giác có 3 đường trung tuyến
- Những đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại 1 điểm
- Giao của bố đường trung tuyến của 1 tam giác gọi là trọng tâm của tam giác ấy
- 1 tam giác có 2 trọng tâm
Câu 2: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:”Trọng tâm của 1 tam giác bí quyết từng đỉnh 1 khoảng bằng… độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đấy”
- (frac{2}{3})
- (frac{3}{2})
- 2
- 3
Câu 3: Cho tam giác (Delta ABC) có đường trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:
- 4.5 cm
- 3 cm
- 6 cm
- 4 cm
Bài tập thực hành đường trung tuyến trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác (Delta ABC) , có AM là đường trung tuyến , biết đường trung tuyến (AM=frac{mỗi}}{2}BC), hãy chứng minh rằng tam giác (Delta ABC)vuông tại góc A:
Bài 2: Cho tam giác vuông (Delta ABC) có góc A là góc vuông, có cạnh AB = 18cm, cạnh AC = 24cm, hãy tính tổng những khoảng bí quyết từ trọng tâm G của tam giác tới những đỉnh của tam giác (Delta ABC).
Bài 3: Cho tam giác (Delta ABC), đường trung tuyến của tam giác là đoạn BM, trên đoạn thẳng BM lấy 2 điểm G và Ok sao cho đoạn thẳng BG = BM và G là trung điểm của BK, gọi điểm N là trung điểm của KC , GN cắt CM tại điểm O, hãy chứng minh :
- (GO=frac{mỗi}}{3}BC)
- O là trọng tâm của tam giác GKC
Bài 4: Cho tam giác (Delta ABC), trên cạnh đối của cạnh AB , hãy lấy điểm D sao cho đoạn thẳng AD = AB, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho đoạn thẳng AE = 1/3 AC, đoạn thẳng BE cắt CD tại điểm M, người sử dụng hãy chứng minh (AM=frac{mỗi}}{2}BC) và M là trung điểm của CD.
Bài 5: Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều (Delta ABC), người sử dụng hãy chứng minh rằng những cạnh GA , GB , GC bằng nhau.
Bài 6: Cho 1 tam giác (Delta ABC) cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm, hãy kẻ đường trung tuyến AM. Tính độ dài AM và chứng minh: AM vuông góc có BC.
Bài 7:Gọi G là trọng tâm của tam giác (Delta ABC). Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’. So sánh những cạnh của tam giác BGG’ có những đường trung tuyến của tam giác (Delta ABC). So sánh những đường trung tuyến của tam giác BGG’ có những cạnh của tam giác (Delta ABC).
Bài 8: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA. Chứng minh tam giác ABD = tam giác ECD. Tính AD biết AB=6cm, AC= 8cm.
Những dạng toán thường gặp về đường trung tuyến
Dạng 1: Tìm những tỉ lệ giữa những cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Sở hữu dạng toán này, ta cần chú ý tới vị trị trọng tâm của tam giác.
Sở hữu G là trọng tâm của tam giác ABC có AD, BE và CF là bố đường trung tuyến, lúc này ta có:
Dạng 2: Đường trung tuyến có những tam giác đặc biệt
Đây là dạng toán đường trung tuyến tại những tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông.
Phương pháp giải:
Ta cần lưu ý trong tam giác cân hay tam giác đều thì đường trung tuyến ứng có cạnh đáy chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.
Như vậy, thông qua bài viết trên hello vọng sentayho.com.vn đã giúp người sử dụng, đặc biệt những em học sinh lớp 7 có 1 mẫu nhìn tại tổng quan nhất về định nghĩa, những tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Người trải nghiệm hãy đọc thực kỹ và luyện tập chúng thông qua những bài tập tại cuối bài viết để nắm chắc chắn hơn tri thức về định nghĩa đường trung tuyến nhé. Chúc bạn luôn học phải chăng!.
Xem thêm: Phân tách đa thức thành nhân tử: Lý thuyết, Bài tập nâng cao và Ứng dụng
Tham khảo đường trung tuyến trong tam giác qua bài giảng của cô Quỳnh Dư:
